Sistemi dinamici

Tutte le immagini nella galleria sono illustrazioni di qualche sistema dinamico. In termini astratti un sistema dinamico (X, f) consiste in una collezione di punti X e in una funzione associata f : X  → X che li sposta, mappando ciascuno punto ad un altro. Per commodità usiamo f ⁿ(x) per indicare la funzione f applicata n volte alla variabile x, quindi f ³( x) = f(f(f(x))). La funzione f mette i punti di X in movimento, quindi se prendiamo un punto x₀ come punto di partenza e applichiamo f ripetutamente, mettendo x₁ = f(x₀), x₂ = f(x₁) = f ²(x₀), . . . , x_n = f(x_n−1) = f ⁿ(x₀), . . . allora la sequenza di iterazioni {x₀, f(x₀), f ²(x₀), . . . , f ⁿ(x₀), . . . } = {x₀, x₁, x₂, . . . , x_n, . . . } è conosciuto come l'orbita di x₀ sotto f. Mettiamo f ⁰(x₀) = x₀ e usiamo {f ⁿ(x₀)} per indicare l'orbita di x₀ sotto f. Le orbite sono percorsi o traiettorie tracciate (in X) da ripetute iterazioni di f.

Se un'orbita ritorna al punto di partenza x₀ dopo un numero finito di applicazioni di f allora x₀ è conosciuto come un punto periodico. Un punto è periodico o non lo è. Se esiste un modo di rappresentare i punti di X come i pixel in un'immagine digitale si può analizzare se un punto è periodico o no, e colorare il pixel corrispondente bianco o nero rispettivamente. Questo è un metodo semplice per la creazione di un'immagine in bianco e nero utilizzando un sistema dinamico.

Per un altro esempio, supponiamo di iterare alcune orbite casuali e di contare il numero di volte, diciamo n(x), ogni punto x è visitato da un'orbita. Allora possiamo usare il valore di n(x) per assegnare un colore al pixel che corrisponde a x.

Questi esempi dimostrano che per un sistema dinamico generale (X, f), in assenza di strutture aggiunte come posizione o distanza, l'idea di produrre un'immagine di esso avviene naturalmente appena si inizia a pensare alla natura matematica delle sue dinamiche.

Infatti tutte le immagini nella galleria sono delle istantanee di sistemi dinamici dove i punti si muovono nel piano reale o complesso ed ogni immagine ha la sua unica funzione. Per questo motivo si chiamano “Dynamical Designs”. Sono state usate diverse tecniche per colorare i punti basandosi in un modo o in un altro sul particolare movimento di ciascuno punto. Infatti ogni immagine è stata creata usando un sistema dinamico che appartiene ad una delle seguenti tre categorie.

Questo elenco non è esaustivo perché ci sono molti altri tipi di sistemi dinamici che possono essere utilizzati per ottenere immagini interessanti. Inoltre queste categorie non si escludono a vicenda. Ad esempio è possibile che alcuni insiemi di Julia possono essere costruiti come repulsori (repellers) nella categoria CD, ma anche costruiti come attratori (attractors) di standard IFSs nella categoria DGIFS. Le immagini denominate CD e DGIFS sono tutte illustrazioni di frattali. Tuttavia abbiamo etichettato ogni immagine T, CD o DGIFS, per indicare il sistema dinamico che è stato davvero modellato dal nostro programma per creare le immagini. I numeri nelle etichette per le immagini non hanno alcun significato e le lettere minuscole indicano solo quando un gruppo di immagini sono variazioni sul tema.

Tutti i sistemi dinamici che usiamo sono esempi di sistemi dinamici discreti in cui i punti fanno salti discreti da un punto all'altro lungo un'orbita. Questo comportamento è evidente nella categoria CD in cui i punti possono saltare grandi distanze con l'iterazione di una funzione complessa. Non è cosi evidente nella categoria T in cui i salti sono cosi piccoli che il comportamento sembra (quasi) quello di un sistema dinamico continuo, con punti che scorrono lungo percorsi continui. Per la categoria DGIFS lo spazio X è di natura diversa dalle categorie T e CD, anche se rimane strettamente legato al piano reale. Ciò nonostante tutte le immagini etichettate DGIFS sono anche loro immagini di sistemi dinamici discreti, con i punti che si muovono con salti discreti lungo le loro orbite.