Il piano reale

Ogni volta che guardiamo uno schermo di computer o le immagini scattate con cellulari o macchine fotografiche digitali stiamo guardando un file digitale. Per immagini i file digitali di solito hanno le estensioni jpg, png, bmp o tiff e possono essere considerati come semplici oggetti matematici. Per esempio la mia macchina fotografica digitale scatta foto che sono composte da una griglia di 5152 × 3864 pixel in cui ogni pixel ha un colore che, nel formato RGB, è della forma (r, g, b). Qui r, g, e b sono i componenti di rosso, verde e blu, e prendono i valori di numeri interi nell'intervallo da 0 a 255, per esempio (0, 0, 0) è nero e (255, 255, 255) è bianco. Una quintupla è un insieme ordinato di cinque numeri perciò un'immagine digitale è semplicemente un'insieme di quintuple, (i, j, r, g, b), dove (i, j) sono le coordinate di un pixel e (r, g, b) è il suo colore. Per esempio (0, 0, 0, 0, 0) indica che il pixel nell'angolo in alto a sinistra dell'immagine è nero mentre (5152, 3864, 255, 255, 255) indica che il pixel nell'angolo in basso a destra è bianco. Non è difficile cambiare le coordinate (i, j) a (x, y) dove x e y sono numeri reali in cui siamo liberi di scegliere la posizione delle parti sinistra (left), destra (right), superiore (top) e inferiore (bottom) dell'immagine. Esplicitamente, per un'immagine digitale scattata con la mia macchina fotografica digitale, se mettiamo

l'immagine digitale diventa un insieme di quintuple (x, y, r, g, b) in cui ogni pixel ha le coordinate (x, y) nel piano reale e il colore (r, g, b). In questo modo possiamo assegnare coordinate ai pixel di qualsiasi immagine digitale. Ciò significa che qualunque immagine digitale può essere considerata come una griglia rettangolare di punti colorati incorporati nel piano reale.

Il piano reale bidimensionale è l'insieme di tutti i punti con coordinate (x, y) dove x e y sono numeri reali. Il piano reale è anche conosciuto come il piano cartesiano e spazio euclideo 2-dimensionale. Un'abbreviazione è ℝ² in cui ℝ rappresenta l'insieme di numeri reali conosciuto anche come la retta reale. Un numero reale è un numero razionale, una frazione, oppure è un numero irrazionale, ossia non è una frazione. Un numero razionale ha una rappresentazione decimale finita o periodica invece un numero irrazionale ha una rappresentazione decimale infinita e non periodica. La radice quadrata di 2 e π sono numeri irrazionali e hanno una rappresentazione decimale infinita e non periodica perciò esistono solo come costruzioni matematiche astratte. I numeri irrazionali sono molto più numerosi dei razionali. Infatti ci sono due diversi tipi di infinito che dimostrano questo. L'insieme di numeri razionali è infinito numerabile ciò significa che i numeri razionali possono essere elencati uno dopo l'altro in una sequenza infinita, mentre l'insieme di numeri irrazionali è infinito ma non numerabile, questo significa che sono troppo numerosi per essere elencati in qualsiasi sequenza.

Non è possibile immagazzinare un numero irrazionale su un computer perché una rappresentazione decimale infinita (non periodica) ha bisogno di una memoria infinita. Tutto ciò che si può fare con un computer è di utilizzare numeri razionali che hanno una rappresentazione decimale finita. Ciò significa che un modello di un rettangolo in ℝ² su un computer necessariamente consiste in una sottogriglia di punti (x, y) dove x e y sono numeri razionali. È bene precisare che questo modello di un rettangolo su un computer ha una risoluzione enormemente più grande di qualsiasi immagine digitale. Un'immagine digitale deve essere immagazzinata in memoria nella sua interezza mentre non abbiamo bisogno di fare questo per un rettangolo (e non avremmo memoria sufficiente anche se volessimo farlo). Invece spesso lavoriamo solo su un pixel alla volta di un'immagine digitale. In generale diamo a un pixel delle coordinate, come descritto sopra, e poi facciamo calcoli della massima accuratezza possibile su un computer, dove i calcoli sono per il particolare sistema dinamico che vogliamo modellare, e poi utilizziamo i risultati in un modo o nell'altro per colorare il pixel originale.

Il piano reale ha una struttura matematica più ricca di un insieme di punti. Ad esempio possiamo misurare le aree di insiemi di punti e le distanze tra punti. Un modo per misurare la distanza è con la metrica euclidea |  |. Con questa metrica la distanza tra due punti (x, y) e (v, w) in ℝ² è

Il piano reale è anche uno spazio reale lineare (vettoriale), in cui possiamo considerare punti come vettori. Un punto (x, y) rappresenta un vettore che connette (0, 0) a (x, y). La lunghezza del vettore è

I vettori possono essere sommati e scalati, moltiplicando per numeri reali, con le seguenti equazioni

Tutte le nostre immagini sono state create utilizzando sistemi dinamici (X, f) dove X è il piano reale o è strettamente legato ad esso.