Creare immagini con funzioni trigonometriche

Le immagini nella categoria T (funzioni trigonometriche) che si possano trovare nella galleria sono rappresentazioni di sistemi dinamici (X, f) dove X è il piano reale e la funzione f : X  → X coinvolge la composizione di funzioni trigonometriche con polinomi di basso grado. La funzione f assume la forma

f(x, y) = (x, y) + h × (p(x, y), q(x, y))

dove p e q sono funzioni che mappano punti nel piano reale ℝ2 a singoli punti sulla retta reale ℝ e coinvolgono la composizione delle funzioni trigonometriche seno e coseno con polinomi di basso grado nelle variabili x e y. La funzione f utilizza le proprietà dello spazio vettoriale del piano reale, con la somma di vettori e la moltiplicazione di un vettore per h.

Una volta che le coordinate sono state assegnate ai bordi sinistro, destro, superiore e inferiore di un'immagine digitale, di solito il valore di h è scelto per essere meno della distanza tra pixel adiacenti. Ciò significa che le orbite ottenute sono (quasi) continui percorsi lisci nell'immagine digitale creata. Questi percorsi sono presenti in tutte le immagini nella categoria T dove appaiono le famigliari onde e spirali associate con le funzioni sinusoidali seno e coseno.

Per un esempio specifico, l'immagine in Figura 1 ha le coordinate: sinistro = −10, destro = 10, superiore = 8, inferiore = −8. La scelta di h è h= 0.1 e la dimensione dell'immagine è 720 × 540 pixels. Nella funzione f sopra, le funzioni p e q sono

p(x, y) = −cos(y + cos(πx))

q(x, y) = cos(x + cos(πy)).

Usando orbite casuali di lunghezza 50, i pixel sono stati colorati contando il numero di volte in cui sono stati visitati dalle orbite.

Esempio di un'immagine creata usando funzioni trigonometriche e polinomi di basso grado.

Figura 1: Esempio di un'immagine nella categoria T, creata con funzioni trigonometriche.

Immagini nella categoria T sono Pebble Spiral 1, Pebble Spiral 2, Sand Flow, Optical, Veiled Grid, Seascape, Unicorn, T1a, T3 e T9a.

L'immagine Veiled Grid è il risultato di un esperimento per vedere cosa succede se restringiamo l'ordine delle funzioni applicate utilizzando un grafo diretto con 2 vertici con probabilità. Le funzioni e le probabilità sono assegnate agli archi del grafo diretto. Si passa da un vertice all'altro attraverso un arco che viene deciso utilizzando un generatore di numeri casuali e le probabilità associate agli archi. Questa idea è simile al modo in cui viene utilizzato un grafico diretto con sistemi di funzioni iterate con un grafo diretto.

Riferimenti

Informazioni su questo tipo di sistema dinamico si può trovare nel capitolo 14 del seguente libro.

C. A. Pickover, Computers, Pattern, Chaos, and Beauty, Dover, New York, (2001).